Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA=PC，
（1）證明：PB⊥AC；
（2）若平面PAC⊥平面平面ABCD，∠ABC=60°，PB=AB，求二面角D-PB-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接PO，AC⊥BD，且O為AC和BD的中點，由PA=PC，得AC⊥PO，從而AC⊥平面PBD，由此能證明PB⊥AC．
（Ⅱ）由已知得PO⊥平面ABCD，過點O作OH⊥PB于點H，連結(jié)CH，得CH⊥PB，從而∠OHC是二面角D-PB-C的平面角，由此能求出二面角D-PB-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連接PO，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且O為AC和BD的中點，
又PA=PC，∴AC⊥PO，
∵BD∩PO=O，BD、PO?平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，
∵PB?平面PBD，∴PB⊥AC．
（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABCD，
平面PAC∩平面ABCD=AC，AC⊥PO，PO?平面PAC，
∴PO⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，∴PO⊥BD，
過點O作OH⊥PB于點H，連結(jié)CH，得CH⊥PB，
∴∠OHC是二面角D-PB-C的平面角，
設(shè)PA=AB=a，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AB=BC=AC，CO=

1

2

a，BO=

3

2

a，
在Rt△POB中，PO=

PB2-BO2

=

a2- 3 4 a2

=

1

2

a，
OH=

PO•BO

PB

=

3

4

a，
∴在Rt△COH中，CH=

CO2+OH2

=

( a 2 )2+( 3 4 a)2

=

7

4

a，
cos∠CHO=

OH

CH

=

21

7

，
∴二面角D-PB-C的余弦值

21

7

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．