Question

【題目】已知矩形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分別為DE、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿著EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小為 ．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取EB的中點(diǎn)M，連接PM，QM， ∵P為DE的中點(diǎn)，
∴PM∥BD，
∵PM平面BCD，BD平面BCD，
∴PM∥平面BCD，
同理MQ∥平面BCD，
∵PM∩MQ=M，
∴平面PMQ∥平面BCD，
∵PQ平面PQM，
∴PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）解：在平面DFC內(nèi)，過F作FC的垂線，則∠DFC= ，建立坐標(biāo)系，則E（2，0，0），C（0，1，0），B（2，1，0），D（0，﹣1，﹣ ），A（2，﹣1， ），
∴ =（﹣2，﹣2， ）， =（0，2，﹣ ）， =（0，1，0），
設(shè)平面DAB的一個(gè)法向量為 =（x，y，z），則 ，取 =（0， ， ），
同理平面DBE的一個(gè)法向量為 =（ ，0， ），
∴cos＜ ， ＞= = ，
∴二面角A﹣DB﹣E的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取EB的中點(diǎn)M，連接PM，QM，證明：平面PMQ∥平面BCD，即可證明PQ∥平面BCD；（Ⅱ）建立坐標(biāo)系，利用向量方法，即可求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．