Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E :的焦距為4，兩條準(zhǔn)線(xiàn)間的距離為8，A，B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn).

(1)求橢圓E 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知圖中四邊形ABCD 是矩形，且BC＝4，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，AM與BN相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P .①若M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，證明:點(diǎn)P在橢圓E上；②若點(diǎn)P在橢圓E上，證明:為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）由求得,進(jìn)而求得橢圓的方程；

（2）①分別求得,坐標(biāo),再求得直線(xiàn)與直線(xiàn)方程,即可求得交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得證；②分別設(shè)直線(xiàn)的方程為,直線(xiàn)的方程為,求得點(diǎn),坐標(biāo),則,利用斜率公式求證即可

（1）由題,,則,所以,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）證明：①由（1）可得,,

因?yàn)?/span>,且四邊形是矩形,

所以,,

因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn),

所以,,

則直線(xiàn)為：,即,

直線(xiàn)為：,即,

所以,解得,即

因?yàn)?/span>,

所以點(diǎn)在橢圓上

②設(shè)直線(xiàn)的方程為,

令,得,

設(shè)直線(xiàn)的方程為,

令,得,

,

設(shè),則,

,