Question

9．若橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上存在點(diǎn)M（x₀，y₀），使得由M向圓O：x²+y²=b²所引的兩條切線MP，MQ互相垂直，其其切點(diǎn)分別記為P，Q．
（1）試用a，b表示x₀²-y₀²的值；
（2）求滿足上述條件的橢圓C的離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由兩切線垂直，可得|MP|=|MQ|=b，即有|OM|=$\sqrt{2}$b，即x₀²+y₀²=2b²，①由M在橢圓上，可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，②，求出x₀²，y₀²，即可得到所求；
（2）M（x₀，y₀），由題意列出方程組求出$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}{2{{x}_{0}}^{2}}$，從而e=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}}$，由此能求出橢圓C₂的離心率的取值范圍．

解答 解：（1）點(diǎn)M（x₀，y₀），
由M向圓O：x²+y²=b²所引的兩條切線MP，MQ互相垂直，
可得|MP|=|MQ|=b，
即有|OM|=$\sqrt{2}$b，即x₀²+y₀²=2b²，①
由M在橢圓上，可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，②
由①②解得x₀²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，
y₀²=$\frac{{a}^{2}^{2}-2^{4}}{{a}^{2}-^{2}}$，
則x₀²-y₀²=$\frac{2^{4}}{{a}^{2}-^{2}}$；
（2）由x₀²+y₀²=2b²，①
$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，②
∴b²x₀²=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{2}$a²-a²y₀²=a²•$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}{2}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}{2{{x}_{0}}^{2}}$，
∴e=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{2{{x}_{0}}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{2{{x}_{0}}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}}$，
∵-a≤x₀≤a，
∴x₀=b時(shí)，e_max→$\sqrt{2-1}$=1，
x₀=a時(shí)，e_min=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴e_min=$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜e＜1，
∴橢圓C的離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的靈活運(yùn)用．