Question

16．通訊衛(wèi)星C在赤道上空3R（R為地球半徑）的軌道上，它每24小時繞地球一周，所以它定位于赤道上某一點的上空．如果此點與某地A（北緯60°）在同一條子午在線，則在A觀察此衛(wèi)星的仰角的正切值為$\frac{3}{6}$．

Answer 1

分析 先過點A作圓的切線交BC于D，得到在A觀察此衛(wèi)星的仰角，再在三角形ABC中利用余弦定理求出角BAC的余弦值，再利用三角函數(shù)的同角公式得出其正切值，最后利用誘導(dǎo)公式即可求出仰角的正切值．

解答 解：過點A作圓的切線交BC于D，則在A觀察此衛(wèi)星的仰角就是∠CAD．
在三角形ABC中，由余弦定理得，AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos60°=R²+（4R）²-2R•4R×$\frac{1}{2}$=13R²，
∴cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{{R}^{2}+13{R}^{2}-16{R}^{2}}{2R•\sqrt{13}R}=-\frac{1}{\sqrt{13}}$，
∴tan∠BAC=-2$\sqrt{3}$，
則在A觀察此衛(wèi)星的仰角的正切值為tan∠CAD=tan（∠BAC-90°）=-$\frac{1}{tan∠B∠AC}=\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．

點評 本題主要考查了與圓有關(guān)的比例線段，考查了切線的性質(zhì)，以及解三角形等基本知識，屬于基礎(chǔ)題．