Question

△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b²+c²-a²+bc=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

3

，求bc的最大值；
（3）求

asin(30°-C)

b-c

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中等式，結(jié)合余弦定理算出cosA=

1

2

，而A∈（0，π），可得A=

π

3

．
（2）由a=

3

代入已知等式得b²+c²=3-bc，再用基本不等式即可得到當(dāng)且僅當(dāng)c=b=1時(shí)，bc取得最大值為1．
（3）根據(jù)正弦定理，將

asin(30°-C)

b-c

化簡(jiǎn)為

sinAsin(30°-C)

sinB-sinC

．再由sinB=sin（A+C）和A=

π

3

，將分子、分母展開(kāi)化簡(jiǎn)，然后將分子分母約去公因式，即可得到

asin(30°-C)

b-c

的值．

解答：解：（1）∵△ABC中，b²+c²=a²-bc
∴根據(jù)余弦定理，得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

（2分）
∵A∈（0，π），∴A=

2π

3

．（4分）
（2）由a=

3

，得b²+c²=3-bc，（6分）
又∵b²+c²≥2bc（當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí)取等號(hào)），（8分）
∴3-bc≥2bc，可得當(dāng)且僅當(dāng)c=b=1時(shí)，bc取得最大值為1．（10分）
（3）由正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
∴

asin(30°-C)

b-c

=

2RsinAsin(30°-C)

2RsinB-2RsinC

（11分）
=

sinAsin(30°-C)

sinB-sinC

=

3 2 ( 1 2 cosC- 3 2 sinC)

sin(60°-C)-sinC

（13分）
∵sin（60°-C）-sinC=

3

2

cosC-

1

2

sinC-sinC=

3

2

cosC-

3

2

sinC
∴

asin(30°-C)

b-c

=

3 2 ( 1 2 cosC- 3 2 sinC)

3 ( 1 2 cosC- 3 2 sinC)

=

1

2

．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形邊之間的平方關(guān)系，求角A的大小并求bc的最大值，著重考查了特殊三角函數(shù)的值、兩角和與差的正弦公式和用正、余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．