Question

已知非零向量

OA

，

OB

，

OC

，

OD

滿足：

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

（α，β，γ∈R），B、C、D為不共線三點，給出下列命題：
①若α=

3

2

，β=

1

2

，γ=-1，則A、B、C、D四點在同一平面上；
②當α＞0，β＞0，γ=

2

時，若|

OA

|=

3

，|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|=1，（

OB

，

OC

）=

5π

6

，（

OD

，

OB

）=（

OD

，

OC

）=

π

2

，則α+β的最大值為

6

-

2

；
③已知正項等差數列{a_n}（n∈N^*），若α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點共線，但O點不在直線BC上，則

1

a3

+

4

a2008

的最小值為9；
④若α+β=1（α•β≠0），γ=0，則A、B、C三點共線且A分

BC

所成的比λ一定為

α

β

．
其中正確的命題個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：平面向量及應用

分析：①由α+β+γ=1，知A、B、C、D四點在同一平面上；②

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

，兩邊平方結合條件得，（α+β）²=（2+

3

）αβ+1；③

1

a3

+

4

a2008

=（

1

a3

+

4

a2008

）（a₃+a₂₀₀₈）≥5+4=9；④根據α+β=1（α•β≠0），γ=0，得A分

BC

所成的比λ為

β

α

．

解答： 解：①∵α=

3

2

，β=

1

2

，γ=-1，∴α+β+γ=1，
∴A、B、C、D四點在同一平面上，故①正確；
②

OA

=α

OB

+β

OC

+γ

OD

，兩邊平方結合條件得，
3=α²+β²+2-2αβcos

π

6

，
∴α²+β²-

3

αβ=1，
∴（α+β）²=（2+

3

）αβ+1，故②錯；
③若α=a₂，β=a₂₀₀₉，γ=0，且A、B、C三點共線，
∴a₂+a₂₀₀₉=1，∴a₃+a₂₀₀₈=1，
則

1

a3

+

4

a2008

=（

1

a3

+

4

a2008

）（a₃+a₂₀₀₈）≥5+4=9，故③正確；
④根據α+β=1（α•β≠0），γ=0，得

OA

=α

OB

+（1-α）

OC

，
∴

OA

-

OB

=（α-1）（

OB

-

OC

），
∴

BA

=（α-1）

CB

=-β

CB

，
則A、B、C三點共線，
且A分

BC

所成的比λ為

β

α

．故④錯．
故選：B．

點評：本題主要考查共面向量和共線向量定理以及利用基本不等式求最值等基礎知識和基本方法，要說明一個命題是真命題，必須給出證明，要說明其是假命題，只要舉出反例即可，同時考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和計算能力．