Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AC⊥BC．側(cè)面A₁ABB₁是邊長為a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A₁AB=60°，E，F(xiàn)分別是AB₁，BC的中點(diǎn)．  
（1）求證：直線EF∥平面A₁ACC₁；   
（2）在線段AB上確定一點(diǎn)G，使平面EFG⊥平面ABC，并給出證明；  
（3）記三棱錐A-BCE的體積為V，且V∈[

3

2

，12]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）連接A₁C，A₁E，結(jié)合菱形的性質(zhì)及F是BC的中點(diǎn)，由三角形的中位線定理，可證得EF∥A₁C，由線面平行的判定定理即可得到直線EF∥平面A₁ACC₁；   
（2）取G為線段AB上靠近B點(diǎn)的四等分點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)G，由菱形的性質(zhì)及E是A₁B的中點(diǎn)，可得EG⊥AB，又由平面A₁ABB₁⊥平面ABC，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得EG⊥平面ABC，又由面面垂直的判定定理，即可得到平面EFG⊥平面ABC；
（3）由△A₁AB是邊長為a的等邊三角形，則我們可以求出EG的長，結(jié)合（2）中EG⊥平面ABC，利用等體積法，我們易將棱錐A-BCE的體積為V表示為a表達(dá)式，結(jié)合V∈[

3

2

，12]，構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：（1）證明：連接A₁C，A₁E．因?yàn)?nbsp; 側(cè)面A₁ABB₁是菱形，E是AB₁的中點(diǎn)，所以  E也是A₁B的中點(diǎn)，
又因?yàn)?nbsp; F是BC的中點(diǎn)，所以  EF∥A₁C．
因?yàn)?nbsp; A₁C?平面A₁ACC₁，EF?平面A₁ACC₁，所以  直線EF∥平面A₁ACC₁．                 …（4分）
（2）解：當(dāng)

BG

GA

=

1

3

時(shí)，平面EFG⊥平面ABC，證明如下：…（5分）
連接EG，F(xiàn)G．因?yàn)?nbsp; 側(cè)面A₁ABB₁是菱形，且∠A₁AB=60°，所以△A₁AB是等邊三角形．
因?yàn)?nbsp; E是A₁B的中點(diǎn)，

BG

GA

=

1

3

，所以  EG⊥AB．
因?yàn)?nbsp; 平面A₁ABB₁⊥平面ABC，且平面A₁ABB₁∩平面ABC=AB，所以  EG⊥平面ABC．
又因?yàn)?nbsp; EG?平面EFG，所以  平面EFG⊥平面ABC．                                   …（8分）
（3）解：因?yàn)椤鰽₁AB是邊長為a的等邊三角形，所以  EG=

3

4

a，
所以  V=VA-BCE=VE-ABC=

1

3

•

1

2

AC•BC•EG=

3

48

a3．
根據(jù)  

3

2

≤

3

48

a3≤12，解得2

3

≤a≤4

3

，即 a∈[2

3

，4

3

]．                  …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，平面與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得EF∥A₁C，（2）的關(guān)鍵是證得EG⊥平面ABC，（3）的關(guān)鍵是將棱錐A-BCE的體積為V表示為a表達(dá)式，結(jié)合V∈[

3

2

，12]，構(gòu)造關(guān)于a的不等式．