Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，的4S_n=a_n²+2a_n-3，且a₁、a₂、a₃、a₄…a₁₁成等比數(shù)列，當(dāng)n≥11時(shí)，a_n＞0．
（1）求證，當(dāng)a≥11時(shí)，{a_n}為等差數(shù)列
（2）求：當(dāng)n＞10時(shí)，{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由4S_n=a_n²+2a_n-3，利用遞推式可得：a₁=3或-1．當(dāng)n≥2時(shí)，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，可得a_n=-a_n-1，或a_n-a_n-1=2．由于a₁、a₂、a₃、a₄…a₁₁成等比數(shù)列，當(dāng)n≥11時(shí)，a_n＞0．因此當(dāng)n≤10時(shí)，取a_n=-a_n-1；當(dāng)n≥11時(shí)，取a_n-a_n-1=2，必須取a₁=3．
（2）當(dāng)n≤10時(shí)，a_n=3×（-1）^n-1，當(dāng)n＞10時(shí)，a_n=3+2（n-11）=2n-19．利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： （1）證明：∵4S_n=a_n²+2a_n-3，∴當(dāng)n=1時(shí)，4a1=

a

2 1

+2a1-3，解得a₁=3或-1．
當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n-1=

a

2 n-1

+2an-1-3，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∴a_n=-a_n-1，或a_n-a_n-1=2．
由于a₁、a₂、a₃、a₄…a₁₁成等比數(shù)列，當(dāng)n≥11時(shí)，a_n＞0．
∴當(dāng)n≤10時(shí)，取a_n=-a_n-1；當(dāng)n≥11時(shí)，取a_n-a_n-1=2，必須取a₁=3．
∴當(dāng)a≥11時(shí)，{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2．
（2）當(dāng)n≤10時(shí)，a_n=3×（-1）^n-1，
當(dāng)n＞10時(shí)，a_n=3+2（n-11）=2n-19．
{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=（3-3+3-3+…+3-3）+3+5+…+（2n-19）
=

(n-10)(3+2n-19)

2

=n²-18n+80．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．