Question

3．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知8a₁，3a₂，2a₂成等差數(shù)列，S₄=5．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為2，公差為-a₁的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為T_n，求滿足T_n-1＞0的最大正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，可得q=2，再由等比數(shù)列的求和公式，可得首項(xiàng)，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，結(jié)合二次不等式的解法，即可得到所求的最大值．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由8a₁，3a₂，2a₂成等差數(shù)列，可得
6a₂=8a₁+2a₂，即為a₂=2a₁，
即有q=2，
由S₄=5，可得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=5，
代入q=2，解得a₁=$\frac{1}{3}$，
則a_n=a₁q^n-1=$\frac{1}{3}$•2^n-1；
（2）由題意可得b_n=2+（n-1）•（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{7-n}{3}$，
前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{2}$n（2+$\frac{7-n}{3}$）=$\frac{n（13-n）}{6}$，
由T_n-1＞0，即為$\frac{（n-1）（14-n）}{6}$＞0，解得1＜n＜14．
即有滿足T_n-1＞0的最大正整數(shù)n為13．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．