如圖,已知正方體棱長為2,、、分別是、和的中點.
(1)證明:面;
(2)求二面角的余弦值.
(1)證明詳見解析;(2).
解析試題分析:先以點為原點建立空間直角坐標系,然后標明有效點的坐標,(1)寫出有效向量的坐標,利用向量的數(shù)量積為零即可證明,從而可得平面;(2)易知為平面的法向量,先計算,然后觀察二面角是銳角還是鈍角,最終確定二面角的余弦值.
試題解析:以為原點建立如圖空間直角坐標系,正方體棱長為2
則 2分
(1)則,
3分
∵
∴ 4分
∵
∴ 5分
又,, 6分
∴面 7分
(2)由(1)知為面的法向量 8分
∵面,為面的法向量 9分
設與夾角為,則 12分
由圖可知二面角的平面角為
∴二面角的余弦值為 14分.
考點:1.空間向量在解決空間垂直上的應用;2.空間向量在解決空間角中的應用.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC.
(1)求證:BE∥平面PDA;
(2)若N為線段PB的中點,求證:NE⊥平面PDB.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直,EF∥BD,AB=EF.
(1)求證:BF∥平面ACE;
(2)求證:BF⊥BD.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直圓O所在的平面,C是圓O上的點.
(1)求證:BC⊥平面PAC;
(2)設Q為PA的中點,G為△AOC的重心,求證:QG∥平面PBC.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱,,底面為直角梯形,其中BC∥AD, AB⊥AD, ,O為AD中點.
(1)求直線與平面所成角的余弦值;
(2)求點到平面的距離;
(3)線段上是否存在一點,使得二面角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在矩形中,點為邊上的點,點為邊的中點,,現(xiàn)將沿邊折至位置,且平面平面.
(1) 求證:平面平面;
(2) 求二面角的大小.
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