Question

16．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，對于任意的p、q∈Z⁺，都有a_p+a_q=a_p+q成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_n²b_n=1，設S_n為數(shù)列{b_n}的前n項之和．求證：S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）取p=n，q=1，則a_n+1=a_n+a₁=a_n+2，可得a_n+1-a_n=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求得b_n=$\frac{1}{4{n}^{2}}$＜$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），運用裂項相消求和和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）取p=n，q=1，則a_n+1=a_n+a₁=a_n+2，
∴a_n+1-a_n=2（n∈N^*），
∴{a_n}是公差為2，首項為2的等差數(shù)列，
則a_n=2n；
（2）由a_n²b_n=1，可得b_n=$\frac{1}{4{n}^{2}}$，
由4n²＞4n²-1，可得b_n＜$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
即有S_n=b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
故原不等式成立．

點評 本題考查數(shù)列通項公式的求法，考查了運用特值法確定數(shù)列為等差數(shù)列，考查不等式的證明，注意運用放縮法和裂項相消求和，以及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．