Question

17．設(shè)x，y均為正數(shù)，且x＞y，求證：x+$\frac{4}{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}}$≥y+3．

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式的性質(zhì)證明即可．

解答 證明：x-y+$\frac{4}{x2-2xy+y2}$=（x-y）+$\frac{4}{（x-y）2}$（3分）
=$\frac{x-y}{2}$+$\frac{x-y}{2}$+$\frac{4}{（x-y）2}$，（5分）
因?yàn)閤＞y，x-y＞0，
所以$\frac{x-y}{2}$+$\frac{x-y}{2}$+$\frac{4}{（x-y）2}$≥3$\root{3}{\frac{x-y}{2}•\frac{x-y}{2}•\frac{4}{{（x-y）}^{2}}}$=3，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x-y}{2}$=$\frac{x-y}{2}$=$\frac{4}{（x-y）2}$取等號(hào)，
此時(shí)x-y=2．（10分）

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)于不等式：a+b+c≥3$\root{3}{abc}$的運(yùn)用，是一道基礎(chǔ)題．