20.在極坐標(biāo)系中,已知曲線C:ρ=2cosθ,將曲線C上的點(diǎn)向左平移一個(gè)單位,然后縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,得到曲線C1,又已知直線l:$\left\{\begin{array}{l}x=tcos\frac{π}{3}\\ y=\sqrt{3}+tsin\frac{π}{3}\end{array}$(t是參數(shù)),且直線l與曲線C1交于A,B兩點(diǎn).
(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程,并說(shuō)明它是什么曲線;
(2)設(shè)定點(diǎn)P(0,$\sqrt{3}$),求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$.

分析 (1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y22,化曲線C1的方程為(x-1)2+y2=1,再由圖象變化吧的規(guī)律可得曲線C;
(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1中,得$\frac{13}{4}{t}^{2}+12t+8=0$,運(yùn)用韋達(dá)定理,參數(shù)的幾何意義,即可求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$.

解答 解:(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為:x2+y2-2x=0即(x-1)2+y2=1.
∴曲線C1的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1,
∴曲線C表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-$\sqrt{3}$,0),($\sqrt{3}$,0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓
(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1中,得$\frac{13}{4}{t}^{2}+12t+8=0$.
設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,
∴t1+t2=-$\frac{48}{13}$,t1t2=$\frac{32}{13}$,
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=|$\frac{{t}_{1}{+t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{3}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化,考查直線的參數(shù)方程的運(yùn)用,屬于中檔題.

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A.4B.3C.2D.1

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8.給出下列四個(gè)結(jié)論:
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②函數(shù)f(x)=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx滿足f(x+$\frac{π}{2}$)=-f(x),則函數(shù)f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為($\frac{π}{6}$,0);
③已知平面α和兩條不同的直線a,b,滿足b?α,a∥b,則a∥α;
④函數(shù)f(x)=$\frac{1}{x}$+lnx的單調(diào)區(qū)間為(0,1)∪(1,+∞).
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( 。
A.4B.3C.2D.0

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15.2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易數(shù)據(jù)顯示,天貓?jiān)┊?dāng)天全天的成交金額為315.5億元.為了了解網(wǎng)購(gòu)者一次性購(gòu)物情況,某統(tǒng)計(jì)部門隨機(jī)抽查了1月1日100名網(wǎng)購(gòu)者的網(wǎng)購(gòu)情況,得到如表數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表,已知網(wǎng)購(gòu)金額在2000元以上(不含2000元)的頻率為0.4.
網(wǎng)購(gòu)金額(元)頻數(shù)頻率
(0,500]50.05
(500,1000]xp
(1000,1500]150.15
(1500,2000]250.25
(2000,2500]300.3
(2500,3000]yq
合計(jì)1001.00
(1)先求出x,y,p,q的值,再將如圖所示的頻率分布直方圖繪制完整;
(2)對(duì)這100名網(wǎng)購(gòu)者進(jìn)一步調(diào)查顯示:購(gòu)物金額在2000元以上的購(gòu)物者中網(wǎng)齡3年以上的有35人,購(gòu)物金額在2000元以下(含2000元)的購(gòu)物者中網(wǎng)齡不足3年的有20人,請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表,并據(jù)此判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò)2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)?
x網(wǎng)齡3年以上網(wǎng)齡不足3年合計(jì)
購(gòu)物金額在2000元以上35
購(gòu)物金額在2000元以下20
總計(jì)100
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
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A.5B.6C.7D.8

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10.設(shè)命題p:函數(shù)$f(x)=lg(a{x^2}-x+\frac{a}{16})$的定義域?yàn)镽;命題q:3x-9x<a對(duì)一切的實(shí)數(shù)x恒成立,如果命題“p且q”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
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