分析 (I)由已知及三角形面積公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得$tanA=-\sqrt{3}$,結(jié)合范圍A∈(0,π),即可得解A的值.
(II)由D為BC的中點(diǎn),可得$BD=DC=\sqrt{7}$,$AD=\sqrt{3}$,利用cos∠ADB=-cos∠ADC結(jié)合余弦定理可得b2+c2=20,結(jié)合$\frac{{{b^2}+{c^2}-28}}{2bc}=cos\frac{2π}{3}=-\frac{1}{2}$,可求bc=8,進(jìn)而可求b,c的值,利用正弦定理即可得解sinC的值.
解答 (本題滿分為12分)
解:(I)由已知得$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}({a^2}-{b^2}-{c^2})$,…(1分)
∴$sinA=-\sqrt{3}\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$.…(2分)
即$sinA=-\sqrt{3}cosA$.…(3分)
∴$tanA=-\sqrt{3}$.…(4分)
又∵A∈(0,π),$A=\frac{2π}{3}$,…(6分)
(II)由cos∠ADB=-cos∠ADC得:$\frac{{A{D^2}+B{D^2}-A{B^2}}}{2AD•BD}=-\frac{{A{D^2}+D{C^2}-A{C^2}}}{2AD•DC}$,
又∵D為BC的中點(diǎn),
∴$BD=DC=\sqrt{7}$,$AD=\sqrt{3}$,
∴AB2+AC2=20,即b2+c2=20.…(8分)
又∵$\frac{{{b^2}+{c^2}-28}}{2bc}=cos\frac{2π}{3}=-\frac{1}{2}$,
∴bc=8.…(9分)
又∵b>c,∴b=4,c=2,…(10分)
∴$sinC=\frac{csinA}{a}=\frac{{2•\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{2\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$.…(12分)
點(diǎn)評 本題主要考查了三角形面積公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,余弦定理,正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.
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A. | cosβ=2cosα | B. | cos2β=2cos2α | C. | cos2β+2cos2α=0 | D. | cos2β=2cos2α |
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A. | 若α⊥β,l?α,n?β,則l⊥n | B. | 若l⊥α,l∥β,則α⊥β | ||
C. | 若l⊥n,m⊥n,則l∥n | D. | 若α⊥β,l?α,則l⊥β |
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A. | (-1,1) | B. | (-∞,-1)∪(1,+∞) | C. | (1,+∞) | D. | (-∞,-1) |
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