Question

【題目】如圖，圓，是圓M內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段PN的垂直平分線l和半徑MP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E的方程；

（2）已知拋物線上，是否存在直線m與曲線E交于G，H，使得G，H中點(diǎn)F落在直線y＝2x上，并且與拋物線相切，若直線m存在，求出直線m的方程，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，x+8y﹣8＝0或x＝0

【解析】

（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得|QN|＝|QP|，再根據(jù)橢圓定義求橢圓方程；

（2）先根據(jù)點(diǎn)差法求得直線斜率，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用判別式為零得直線方程，最后考慮直線斜率不存在是是否滿足題意.

解：（1）由題意可知，Q在PN的垂直平分線上，

所以|QN|＝|QP|，又因?yàn)?/span>|QM|+|QP|＝r＝4，

所以|QM|+|QP|＝4＞|MN|，

所以Q點(diǎn)的軌跡為橢圓，且2a＝4即a＝2，

由題意可知c＝，所以b＝1，

∴曲線E的方程為.

（2）由已知拋物線方程是y2＝﹣x，

若直線斜率存在，設(shè)直線與曲線E的交點(diǎn)坐標(biāo)為G（x1，y1），H（x2，y2），滿足曲線E的方程，

兩式作差可得+（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，

因?yàn)?/span>G，H的中點(diǎn)F落在直線y＝2x上

則有y1+y2＝2（x1+x2）代入可得＝﹣，

直線方程可以設(shè)為y＝﹣x+b與拋物線方程聯(lián)立，

消元可得方程y2﹣4y+4b＝0，

直線與拋物線相切則有△＝16﹣16b＝0，所以b＝1，

則直線的方程為x+8y﹣8＝0，與橢圓方程聯(lián)立：，

消元可得方程17y2﹣32y+15＝0，△＝322﹣4×17×15＞0，

所以直線x+8y﹣8＝0滿足題意.

若直線斜率不存在時(shí)，直線x＝0滿足題意.

所以，綜上這樣的直線存在，方程是x+8y﹣8＝0或x＝0.