Question

10．平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱AA₁的長(zhǎng)為2，且∠A₁AB=∠A₁AD=120°，則AC₁的長(zhǎng)為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用向量模的計(jì)算公式和向量的數(shù)量積的定義即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
|$\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{AB}$|=1，|$\overrightarrow{A{A}_{1}}$|=2，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$，
$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=|$\overrightarrow{AD}$||$\overrightarrow{A{A}_{1}}$|cos120°=-1=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
∴${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{A{A}_{1}}$）²=$\overrightarrow{AD}$²+$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{A{A}_{1}}$²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{A}_{1}}$
=1+1+2²+0+2×（-1）+2×（-1）=2．
∴|$\overrightarrow{A{C}_{1}}$|=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握向量模的計(jì)算公式和向量的數(shù)量積的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．