Question

18．已知實(shí)數(shù)a，b∈R，若a²-ab+b²=3，則$\frac{{{{（1+ab）}^2}}}{{{a^2}+{b^2}+1}}$的值域?yàn)?[0，\frac{16}{7}]$．

Answer 1

分析 a²-ab+b²=3，可得ab+3=a²+b²≥2|ab|，因此-1≤ab≤3，令ab=t∈[-1，3]．$\frac{{{{（1+ab）}^2}}}{{{a^2}+{b^2}+1}}$=$\frac{（1+t）^{2}}{t+4}$=t-2+$\frac{9}{t+4}$=f（t）．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵a²-ab+b²=3，
∴ab+3=a²+b²≥2|ab|，∴-1≤ab≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=±$\sqrt{3}$時(shí)取右邊等號(hào)，ab=-1時(shí)取左邊等號(hào)．
令ab=t∈[-1，3]．
則$\frac{{{{（1+ab）}^2}}}{{{a^2}+{b^2}+1}}$=$\frac{（1+t）^{2}}{t+4}$=t-2+$\frac{9}{t+4}$=f（t）．
f′（t）=1-$\frac{9}{（t+4）^{2}}$=$\frac{{t}^{2}+8t+7}{（t+4）^{2}}$=$\frac{（t+1）（t+7）}{（t+4）^{2}}$
∴f（t）在[-1，3]上單調(diào)遞增．
f（-1）=0，f（3）=$\frac{16}{7}$．
∴f（t）∈$[0，\frac{16}{7}]$．
故答案為：$[0，\frac{16}{7}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．