Question

13．已知兩個(gè)等差數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項(xiàng)和分別為A_n和B_n，且$\frac{A_n}{B_n}$=$\frac{6n+54}{n+5}$，則使得$\frac{a_n}{b_n}$為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 由于$\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{{A}_{2n-1}}{{B}_{2n-1}}$=6+$\frac{12}{n+2}$，n的取值只要使得$\frac{12}{n+2}$為正整數(shù)即可得出．

解答 解：$\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{\frac{（2n-1）（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{2}}{\frac{（2n-1）（_{1}+_{2n-1}）}{2}}$=$\frac{{A}_{2n-1}}{{B}_{2n-1}}$=$\frac{6（2n-1）+54}{2n-1+5}$=$\frac{6n+24}{n+2}$=6+$\frac{12}{n+2}$，
當(dāng)n=1，2，4，10時(shí)，$\frac{12}{n+2}$為正整數(shù)，即使得$\frac{a_n}{b_n}$為整數(shù)的正整數(shù)n的值只有4個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式及其性質(zhì)、整除的理論，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．