Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+2（n-1）（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并分別寫出a_n和S_n關于n的表達式；
（2）設數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項和為T_n，證明：

1

5

≤Tn＜

1

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=

Sn

n

+2（n-1），得S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*），由此能證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并能求出a_n和S_n關于n的表達式．
（2）由

1

(4n-3)(4n+1)

=（

1

4n-3

-

1

4n+1

），利用裂項求和法能證明

1

5

≤T_n＜

1

4

．

解答： （1）證明：由a_n=

Sn

n

+2（n-1），得S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*）．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），即a_n-a_n-1=4，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，4為公差的等差數(shù)列．
于是，a_n=4n-3，S_n=

?a1+an?n

2

=2n²-n（n∈N^*）．
（2）證明：T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

=

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

+…+

1

(4n-3)(4n+1)

．
=

1

4

[（1-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+（

1

9

-

1

13

）+…+（

1

4n-3

-

1

4n+1

）]
=

1

4

（1-

1

4n+1

）=

n

4n+1

＜

n

4n

=

1

4

又由題意知T_n單調遞增，故T_n≥T₁=

1

5

，
于是，

1

5

≤T_n＜

1

4

．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，考查不等式的證明，解題時要注意裂項求和法的合理運用．