【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期為π,圖象的一個對稱中心為( ,0),將函數(shù)f(x)圖象上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),再將所得圖象向右平移0.5π個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象;
(1)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式;
(2)當a≥1,求實數(shù)a與正整數(shù)n,使F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)恰有2019個零點.
【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期為π,
∴ω= =2,
又曲線y=f(x)的一個對稱中心為( ,0),φ∈(0,π),
故f( )=sin(2×
+φ)=0,得φ=
,所以f(x)=cos2x.
將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)后可得y=cosx的圖象,
再將y=cosx的圖象向右平移0.5π個單位長度后得到函數(shù)g(x)=cos(x﹣0.5π)的圖象,
∴g(x)=sinx
(2)解:∵φ(x)=asinx+cos2x=0(∵sinx≠0),
a=﹣
m(x),可得m(x)=
=2sinx﹣
,m′(x)=2cosx+
=
,
令m′(x)=0得x= ,
,
∴m(x)在(0, )上單調遞增,(
,π)與(π,
)上單調遞減,(
,2π)上單調遞增,
當a>1時,m(x)=a在(0,2π)有2解;
則a=1時,m(x)=a在(0,π)∪(π,2π)有3解,
而2019÷3=673,所以n=673×2=1346,
∴存在a=1,n=1346時,φ(x)有2019個零點
【解析】(1)依題意,可求得ω=2,φ= ,利用三角函數(shù)的圖象變換可求得g(x)=sinx;(2)由于φ(x)=asinx+cos2x=0(sinx≠0),a=﹣
m(x),可得m(x)=
=2sinx﹣
,m′(x)=2cosx+
=
,令m′(x)=0得x=
,
,可得m(x)在(0,
)上單調遞增,(
,π)與(π,
)上單調遞減,(
,2π)上單調遞增,分析可知a=±1時,m(x)=a在(0,π)∪(π,2π)有3解,
而2019÷3=673,得n=673*2=1346,從而存在a=1,n=1346或a=﹣1,n=1346時,φ(x)有2019個零點.
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【題目】設函數(shù)f(x)= sin
,若存在f(x)的極值點x0滿足x02+[f(x0)]2<m2 , 則m的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣6)∪(6,+∞)
B.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)
C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
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【題目】設,
分別為具有公共焦點
與
的橢圓和雙曲線的離心率,
為兩曲線的一個公共點,且滿
足,則
的值為 ( )
A. B. 1 C. 2 D. 不確定
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【題目】若定義在[﹣m,m](m>0)上的函數(shù)f(x)= +xcosx(a>0,a≠1)的最大值和最小值分別是M、N,則M+N=
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【題目】動物園需要用籬笆圍成兩個面積均為50 的長方形熊貓居室,如圖所示,以墻為一邊(墻不需要籬笆),并共用垂直于墻的一條邊,為了保證活動空間,垂直于墻的邊長不小于2m,每個長方形平行于墻的邊長也不小于2m.
(1)設所用籬笆的總長度為l,垂直于墻的邊長為x.試用解析式將l表示成x的函數(shù),并確定這個函數(shù)的定義域;
(2)怎樣圍才能使得所用籬笆的總長度最��?籬笆的總長度最小是多少?
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+ +5(常數(shù)a,b∈R)滿足f(1)+f(﹣1)=14.
(1)求出a的值,并就常數(shù)b的不同取值討論函數(shù)f(x)奇偶性;
(2)若f(x)在區(qū)間(﹣∞,﹣ )上單調遞減,求b的最小值;
(3)在(2)的條件下,當b取最小值時,證明:f(x)恰有一個零點q且存在遞增的正整數(shù)數(shù)列{an},使得 =q
+q
+q
+…+q
+…成立.
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【題目】已知{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=( )
A. 7 B. 5
C. -5 D. -7
【答案】D
【解析】由解得
或
∴或
,∴a1+a10=a1(1+q9)=-7.選D.
點睛:在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時,有兩個處理思路,一是利用基本量,將多元問題簡化為一元問題,雖有一定量的運算,但思路簡潔,目標明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質,性質是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn),是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具,應有意識地去應用.但在應用性質時要注意性質的前提條件,有時需要進行適當變形. 在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時,經(jīng)常采用“巧用性質、整體考慮、減少運算量”的方法.
【題型】單選題
【結束】
8
【題目】在數(shù)列{ }中,已知
,
,
,則
等于( )
A. B.
C.
D.
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