某大學(xué)共有A、B、C三個學(xué)生食堂，一個宿舍共有四名學(xué)生，在一段時間內(nèi)，他們每天中午都在學(xué)生食堂用餐，且每個學(xué)生到這三個食堂中的任一食堂用餐的可能性都相等．用X表示這個宿舍每天中午在A食堂用餐的人數(shù)．根據(jù)這一時間段該宿舍學(xué)生的就餐情況解決下列問題：
（1）求每天中午每個學(xué)生食堂中至少有這個宿舍一名學(xué)生用餐的概率；
（2）求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差．

解：（1）每天中午每個學(xué)生食堂中至少有這個宿舍一名學(xué)生用餐的情況有種，
四名學(xué)生到食堂用餐的情況共有34種，
∴每天中午每個學(xué)生食堂中至少有這個宿舍一名學(xué)生用餐的概率P==．
（2）由題設(shè)知X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
P（X=4）==，
∴X的分布列為：
X 0 1 2 3 4
P
∴EX=+=．
DX=（0-）2×+（1-）2×+（2-）2×+（3-）2×+（4-）2×=．
分析：（1）每天中午每個學(xué)生食堂中至少有這個宿舍一名學(xué)生用餐的情況有種，四名學(xué)生到食堂用餐的情況共有34種，由此能求出每天中午每個學(xué)生食堂中至少有這個宿舍一名學(xué)生用餐的概率．
（2）由題設(shè)知X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4），由此能求出X的數(shù)學(xué)期望和方差．
點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差，是歷年高考的必考題型，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•武清區(qū)一模）某大學(xué)共有A、B、C三個學(xué)生食堂，一個宿舍共有四名學(xué)生，在一段時間內(nèi)，他們每天中午都在學(xué)生食堂用餐，且每個學(xué)生到這三個食堂中的任一食堂用餐的可能性都相等．用X表示這個宿舍每天中午在A食堂用餐的人數(shù)．根據(jù)這一時間段該宿舍學(xué)生的就餐情況解決下列問題：
（1）求每天中午每個學(xué)生食堂中至少有這個宿舍一名學(xué)生用餐的概率；
（2）求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

（2013•海淀區(qū)一模）在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報II類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個科目的考試，成績分為A，B，C，D，E五個等級．某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人．
（I）求該考場考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)；
（II）若等級A，B，C，D，E分別對應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分．
（i）求該考場考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；
（ii）若該考場共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．從這10人中隨機抽取兩人，求兩人成績之和的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報II類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個科目的考試，成績分為A，B，C，D，E五個等級．某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人．

（Ⅰ）求該考場考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)；
（Ⅱ）若等級A，B，C，D，E分別對應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分．
（i）求該考場考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；
（ii）若該考場共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．從這10中隨機抽取兩人，求兩人成績之和大于等于18的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年天津市武清區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

某大學(xué)共有A、B、C三個學(xué)生食堂，一個宿舍共有四名學(xué)生，在一段時間內(nèi)，他們每天中午都在學(xué)生食堂用餐，且每個學(xué)生到這三個食堂中的任一食堂用餐的可能性都相等．用X表示這個宿舍每天中午在A食堂用餐的人數(shù)．根據(jù)這一時間段該宿舍學(xué)生的就餐情況解決下列問題：
（1）求每天中午每個學(xué)生食堂中至少有這個宿舍一名學(xué)生用餐的概率；
（2）求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差．

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