Question

6．給定數(shù)列a₁，a₂，…，a_n，對(duì)i=1，2，…，n-1，該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為A_i，后n-i項(xiàng)的最小值記為B_i，d_i=A_i-B_i．
（1）設(shè)a_n=$\frac{1}{3}$×2^n-1，求d₅；
（2）設(shè)a₁，a₂，…，a_n（n≥4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a₁＞0時(shí)，證明：d₁，d₂，…，d_n-1成等比數(shù)列；
（3）設(shè)d₁，d₂，…，d_n-1是公差大于0的等差數(shù)列，且d₁＞0，證明：a₁，a₂，…，a_n-1成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意的，d₅=A₅-B₅．因?yàn)锳₅是數(shù)列前5項(xiàng)的最大值即a₅，B₅是后n-5項(xiàng)的最小值即a₆．所以d₅=a₅-a₆=-$\frac{16}{3}$．
（Ⅱ）由題意得，{a_n}的公比q大于1且a₁＞0，所以數(shù)列{a_n}是所有項(xiàng)全為正數(shù)的遞增數(shù)列．所以A_i=a_i，B_i=a_i+1，得d_i=A_i-B_i=a_i-a_i+1=（1-q）a_i，$\frac{7ft9r5h_{i+1}}{5rpdjx9_{i}}=\frac{{（1-q）a}_{i+1}}{{（1-q）a}_{i}}=q$．
所以d₁，d₂，…，d_n-1成等比數(shù)列．
（Ⅲ）由題可知，B_i≤B_i+1．因?yàn)閐_i=A_i-B_i，所以A_i=d_i+B_i，所以A_i+1-A_i=d+B_i+1-B_i＞0．所以A_i+1=a_i+1＞A_i=a_i，所以數(shù)列a₁，a₂，…，a_n-1是遞增數(shù)列．又因?yàn)閐₁=A₁-B₁＞0，所以a₁-B₁＞0，即B₁＜a₁＜a₂＜…＜a_n-1，所以B₁=B₂=…=B_n-1=a_n．
所以d_i+1-d_i=（a_i+1-a_n）-（a_i-a_n）=d，所以a₁，a₂，…，a_n-1成等差數(shù)

解答 解：（Ⅰ）由題意的，
因?yàn)閍_n=$\frac{1}{3}$×2^n-1
所以A₅=a₅，B₅=a₆
d₅=A₅-B₅=a₅-a₆=-$\frac{16}{3}$
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q
因?yàn)閝＞1且a₁＞0
數(shù)列{a_n}是所有項(xiàng)全為正數(shù)的遞增數(shù)列
所以A_i=a_i，B_i=a_i+1
所以d_i=A_i-B_i=a_i-a_i+1=（1-q）a_i
同理d_i+1=A_i+1-B_i+1=a_i+1-a_i+2
所以$\frac{n9hxrxb_{i+1}}{tbzn7xd_{i}}=\frac{（1-q）{a}_{i+1}}{（1-q）{a}_{i}}=q$
所以d₁，d₂，…，d_n-1成等比數(shù)列
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列d₁，d₂，…，d_n-1公差為d，d＞0
因?yàn)锳_i+1=max{A_i，a_i+1}
所以A_i+1≥A_i
同理B_i=min{B_i+1，a_i+1}
所以B_i≤B_i+1
因?yàn)閐_i=A_i-B_i
所以A_i=d_i+B_i
同理，A_i+1=d_i+1+B_i+1=d_i+d+B_i+1（i+1≤n-1，i∈N^*）
所以A_i+1-A_i=d+B_i+1-B_i＞0
所以a_i+1=A_i+1＞A_i=a_i
所以a_i+1＞a_i
所以數(shù)列a₁，a₂，…，a_n-1是遞增數(shù)列
又因?yàn)閐₁=A₁-B₁＞0
所以a₁-B₁＞0，即B₁＜a₁＜a₂＜…＜a_n-1
所以B₁=B₂=…=B_n-1=a_n
所以d_i=a_i-a_n，
同理d_i+1=A_i+1-B_i+1=a_i+1-a_n
所以d_i+1-d_i=a_i+1-a_i=d
所以a₁，a₂，…，a_n-1成等差數(shù)列

點(diǎn)評(píng) 本題屬于創(chuàng)新題，難度偏大．考察學(xué)生對(duì)新概念的理解和運(yùn)用，要求學(xué)生有較高的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力．本題主要以等差數(shù)列和等比數(shù)列為框架，考察學(xué)生對(duì)于等比等差數(shù)列的單調(diào)性的判斷，以及用定義法證明等比數(shù)列和等差數(shù)列．