在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).
(1)證明:D1E⊥A1D;
(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)E到面ACD1的距離;
(3)AE等于何值時(shí),二面角D1—EC—D的大小為.
:(1)證明:∵AE⊥平面AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E.
(2)設(shè)點(diǎn)E到面ACD1的距離為h,在△ACD1中,AC=CD1=,AD1=,
故
(3)過(guò)D作DH⊥CE于H,連D1H、DE,則D1H⊥CE,
∴∠DHD1為二面角D1—EC—D的平面角.
設(shè)AE=x,則BE=2-x
解法(二):以D為坐標(biāo)原點(diǎn),直線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AE=x,則A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0)C(0,2,0)
(1)
(2)因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),則E(1,1,0),從而,
,設(shè)平面ACD1的法向量為,則
也即,得,從而,所以點(diǎn)E到平面AD1C的距離為
本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識(shí), 本題實(shí)質(zhì)上求解角度和距離,在求此類問(wèn)題中,要將這些量處于三角形中,最好是直角三角形,這樣有利于問(wèn)題的解決,此外用向量也是一種比較好的方法。點(diǎn)評(píng):立體幾何的內(nèi)容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計(jì)算,這是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容,本題實(shí)質(zhì)上求解角度和距離,在求此類問(wèn)題中,盡量要將這些量處于三角形中,最好是直角三角形,這樣計(jì)算起來(lái),比較簡(jiǎn)單,此外用向量也是一種比較好的方法,不過(guò)建系一定要恰當(dāng),這樣坐標(biāo)才比較好寫出來(lái).
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