Question

1．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線的離心率為e．若在雙曲線的右支上存在點(diǎn)M，滿足|MF₂|=|F₁F₂|，且esin∠MF₁F₂=1，則該雙曲線的離心率e等于（　�。�

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得sin∠MF₁F₂=$\frac{1}{e}$=$\frac{2a}{2c}$，運(yùn)用雙曲線的定義可得4b-2c=2a，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，以及離心率公式，可得e的方程，解方程可得e．

解答 解：依題設(shè)，|MF₂|=|F₁F₂|=2c，
∵esin∠MF₁F₂=1，∴sin∠MF₁F₂=$\frac{1}{e}$=$\frac{2a}{2c}$，
∴等腰三角形MF₁F₂底邊上的高為2a，∴底邊MF₁的長(zhǎng)為2$\sqrt{（2c）^{2}-（2a）^{2}}$=4b，
由雙曲線的定義可得4b-2c=2a，∴2b=a+c，
∴4b²=（a+c）²，即4b²=a²+2ac+c²，
∴3e²-2e-5=0，解得e=$\frac{5}{3}$（-1舍去）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要是離心率公式的運(yùn)用，考查定義法和轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．