Question

12．已知關于x的不等式|x-1|+|x+3|≤m的解集不是空集，記m的最小值為t．
（Ⅰ）求t的值；
（Ⅱ）若不等式|x-1|+|x+3|＞|x-a|的解集包含[-1，0]，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對值的幾何意義，轉化求解t的值；
（Ⅱ）利用不等式的解集，以及已知條件轉化不等式恒成立，推出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）因為|x-1|+|x+3|≥|（x-1）-（x+3）|=4，
當且僅當-3≤x≤1時取等號，
故m≥4，即t=4．       …（5分）
（Ⅱ）x∈[-1，0]．則x-1＜0．x+3＞0．
由已知得1-x+x+3＞|x-a|在x∈[-1，0]上恒成立，
∴x-4＜a＜x+4在x∈[-1，0]上恒成立，
∴-4＜a＜3．
∴實數a的取值范圍是（-4，3）…（10分）

點評 本題考查函數恒成立，絕對值不等式的解法，考查轉化思想以及計算能力．