Question

4．長半軸長為6，離心率為$\frac{1}{3}$，且焦距在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），由長半軸長為6，離心率為$\frac{1}{3}$，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：∵焦距在x軸上的橢圓長半軸長為6，離心率為$\frac{1}{3}$，
∴設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），
且$\left\{\begin{array}{l}{2a=6}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=3，c=1，b²=8，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．