等邊三角形的邊長為3,點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn),且滿足(如圖1).將△沿折起到△的位置,使二面角為直二面角,連結(jié)、 (如圖2).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)在線段上是否存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為?若存在,求出的長,若不存在,請說明理由.
(Ⅱ)在線段上存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為,此時
解析試題分析:(Ⅰ)二面角為直二面角,要證平面;只要證;
(Ⅱ)假設(shè)存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為,根據(jù)直線與平面所成的角的定義作出
直線與平面所成的角,設(shè)的長為,用表示,在直角中,
根據(jù)勾股定理列出方程,若方程有解則存在,否則不存在.或借助已有的垂直關(guān)系;也可以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角標(biāo)系,求出平面的一個法向量 ,利用建立方程,解這個方程探求 點(diǎn)的存在性.
試題解析:證明:(1)因?yàn)榈冗叀?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bd/4/jducy.png" style="vertical-align:middle;" />的邊長為3,且,
所以,. 在△中,,
由余弦定理得
. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f9/b/kvfrc2.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以. 3分
折疊后有,因?yàn)槎娼?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e6/9/saqla3.png" style="vertical-align:middle;" />是直二面角,
所以平面平面 ,又平面平面,
平面,, 所以平面. 6分
(2)解法1:假設(shè)在線段上存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為.
如圖,作于點(diǎn),連結(jié)、 ,
由(1)有平面,而平面,
所以,又, 所以平面,
所以是直線與平面所成的角 , 8分
設(shè),則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直圓O所在的平面,C是圓O上的點(diǎn).
(1)求證:BC⊥平面PAC;
(2)設(shè)Q為PA的中點(diǎn),G為△AOC的重心,求證:QG∥平面PBC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,是正方形,平面,,分別是的中點(diǎn).
(1)在線段上確定一點(diǎn),使平面,并給出證明;
(2)證明平面平面,并求出到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是矩形,平面PCD⊥平面ABCD,M為PC中點(diǎn).求證:
(1)PA∥平面MDB;
(2)PD⊥BC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知、、為不在同一直線上的三點(diǎn),且,.
(1)求證:平面//平面;
(2)若平面,且,,,求證:平面;
(3)在(2)的條件下,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB、CD上的點(diǎn),EF∥BC,AE=x,G是BC的中點(diǎn)。沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖) .
(1) 當(dāng)x=2時,求證:BD⊥EG ;
(2) 若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f(x),求f(x)的最大值;
(3) 當(dāng)f(x)取得最大值時,求二面角D-BF-C的余弦值.
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