【題目】已知函數(shù).
(1)證明:函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù);
(2)當(dāng)時,證明:函數(shù)只有一個零點.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)只需證明f(x)的導(dǎo)函數(shù)恒成立,且不恒等于0.注意定義域和參數(shù)的范圍。(2)當(dāng)時, ,其定義域是,通過求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性及極值可知函數(shù)f(x)的圖像與x軸相切于(1,0)點,其余點均在x軸下方,所以只有一個零點。
試題解析:(1)顯然函數(shù)的定義域為.
∴ .
∵, ,∴, ,∴,
所以函數(shù)在上是減函數(shù).
(2)當(dāng)時, ,其定義域是,
∴.
令,即,解得或.
∵,∴舍去.
當(dāng)時, ;當(dāng)時, .
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)時,函數(shù)取得最大值,其值為,
當(dāng)時, ,即,
∴函數(shù)只有一個零點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知矩形和菱形所在平面互相垂直,如圖,其中, , ,點為線段的中點.
(Ⅰ)試問在線段上是否存在點,使得直線平面?若存在,請證明平面,并求出的值,若不存在,請說明理由;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)對于任意實數(shù)x,不等式sin x+cos x>m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)存在實數(shù)x,不等式sin x+cos x>m有解,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】求適合下列條件的雙曲線的標準方程:
(1)以橢圓的長軸端點為焦點,且經(jīng)過點P(5, );
(2)過點P1(3,-4 ),P2(,5).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn)三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.
(1)設(shè)每盤游戲獲得的分數(shù)為,求的分布列;
(2)玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少?
(3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn),若干盤游戲后,與最初的分數(shù)相比,分數(shù)沒有增加反而減少了.請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分數(shù)減少的原因.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了響應(yīng)教育部頒布的《關(guān)于推進中小學(xué)生研學(xué)旅行的意見》,某校計劃開設(shè)八門研學(xué)旅行課程,并對全校學(xué)生的選課意向進行調(diào)查(調(diào)查要求全員參與,每個學(xué)生必須從八門課程中選出唯一一門課程).本次調(diào)查結(jié)果如下.
圖中,課程為人文類課程,課程為自然科學(xué)類課程.為進一步研究學(xué)生選課意向,結(jié)合上面圖表,采取分層抽樣方法從全校抽取1%的學(xué)生作為研究樣本組(以下簡稱“組”).
(Ⅰ)在“組”中,選擇人文類課程和自然科學(xué)類課程的人數(shù)各有多少?
(Ⅱ)某地舉辦自然科學(xué)營活動,學(xué)校要求:參加活動的學(xué)生只能是“組”中選擇課
程或課程的同學(xué),并且這些同學(xué)以自愿報名繳費的方式參加活動. 選擇課程的學(xué)生中有人參加科學(xué)營活動,每人需繳納元,選擇課程的學(xué)生中有人參加該活動,每人需繳納元.記選擇課程和課程的學(xué)生自愿報名人數(shù)的情況為,參加活動的學(xué)生繳納費用總和為元.
①當(dāng)時,寫出的所有可能取值;
②若選擇課程的同學(xué)都參加科學(xué)營活動,求元的概率.
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