Question

4．設(shè)函數(shù)$f（x）=sinωx+sin（ωx-\frac{π}{2}）$．
（1）若$ω=\frac{1}{2}$，求f（x）的最大值及相應(yīng)的x的取值范圍；
（2）若$x=\frac{π}{8}$是f（x）的一個零點，且0＜ω＜10，求ω的值和f（x）的最小正周期．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得最大值，及相應(yīng)的x的取值范圍；
再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)$x=\frac{π}{8}$時，f（x）=0，0＜ω＜10，可求ω的值和f（x）的最小正周期．

解答 解：函數(shù)$f（x）=sinωx+sin（ωx-\frac{π}{2}）$．
化簡可得：f（x）=sinωx-cosωx=$\sqrt{2}$sin（ωx$-\frac{π}{4}$）
∴$f（x）=\sqrt{2}sin（{ωx-\frac{π}{4}}）$，
（1）當(dāng)$ω=\frac{1}{2}$時，$f（x）=\sqrt{2}sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}}）$，
∴當(dāng)$\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ$時，函數(shù)f（x）的最大值為$\sqrt{2}$，
∴相應(yīng)x的取值集合為$\left\{{\left.x\right|x=\frac{3π}{2}+4kπ，k∈Z}\right\}$；
（2）∵$f（{\frac{π}{8}}）=\sqrt{2}sin（{\frac{π}{8}x-\frac{π}{4}}）=0$，
得：$\frac{π}{8}x-\frac{π}{4}=kπ$，k∈Z．
又0＜ω＜10．
∴k=0，ω=2，
則函數(shù).$f（x）=\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{4}}）$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用．屬于基礎(chǔ)題．