Question

5．2017年1月1日，作為貴陽市打造“千園之城”27個示范性公元之一的泉湖公園正式開園，元旦期間，為了活躍氣氛，主辦方設(shè)置了水上挑戰(zhàn)項(xiàng)目向全體市民開放，現(xiàn)從到公園游覽的市民中隨機(jī)抽取了60名男生和40名女生共100人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)出100名市民中愿意接受挑戰(zhàn)和不愿意接受挑戰(zhàn)的男女生比例情況，具體數(shù)據(jù)如圖表：
（1）根據(jù)條件完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否在犯錯誤的概率不超過1%的情況下愿意接受挑戰(zhàn)與性別有關(guān)？

	愿意	不愿意	總計(jì)
男生
女生
總計(jì)

（2）水上挑戰(zhàn)項(xiàng)目共有兩關(guān)，主辦方規(guī)定：挑戰(zhàn)過程依次進(jìn)行，每一關(guān)都有兩次機(jī)會挑戰(zhàn)，通過第一關(guān)后才有資格參與第二關(guān)的挑戰(zhàn)，若甲參加每一關(guān)的每一次挑戰(zhàn)通過的概率均為$\frac{1}{2}$，記甲通過的關(guān)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式與數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.1	0.05	0.025	0.01
k0	2.706	3.841	5.024	6.635

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）利用k²計(jì)算公式即可得出．
（2）由題意可得：X=0，1，2．通過分類討論，利用相互獨(dú)立與互斥事件概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）由統(tǒng)計(jì)表格可得：

	愿意	不愿意	總計(jì)
男生	15	45	60
女生	20	20	40
總計(jì)	35	65	100

∴K²=$\frac{100（15×20-45×20）^{2}}{35×65×60×40}$≈6.594＜6.635，
在犯錯誤的概率不超過1%的情況下能接受挑戰(zhàn)與性別有關(guān)．
（2）由題意可得：X=0，1，2．
則P（X=0）=$（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，P（X=1）=$（{∁}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}）$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{16}$，
P（X=2）=$（{∁}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}）$$（{∁}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}）$=$\frac{9}{16}$．

X	0	1	2
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{9}{16}$

E（X）=0+$1×\frac{3}{16}$+2×$\frac{9}{16}$=$\frac{21}{16}$．

點(diǎn)評 本題考查了隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望、“獨(dú)立性檢驗(yàn)”計(jì)算公式及其原理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．