Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+bx+c，且f（x）在x=1處取得極值．
（1）求b的值；
（2）若當x∈[-1，

9

4

]時，f(x)＜c2-

7

6

恒成立，求c的取值范圍；
（3）對任意的x₁，x₂∈[-1，

9

4

]，|f(x1)-f(x2)|≤

14

3

是否恒成立？如果成立，給出證明，如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）（1）先對函數(shù)進行求導(dǎo)，然后根據(jù)f'（1）=0求出b的值；
（2）先求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，再轉(zhuǎn)化為解不等式即可；
（3）將問題等價轉(zhuǎn)化為|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|，再在（2）的基礎(chǔ)上求出區(qū)間上的最小值即可證得

解答：解：（1）因為f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+bx+c，
所以f′（x）=x²-3x+b．…（2分）
因為f（x）在x=1處取得極值，所以f′（1）=1-3+b=0．解得b=2．…（4分）
（2）因為f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+c．所以f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2	(2， 9 4 )	9 4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	- 23 6 +c	單調(diào)遞增	5 6 +c	單調(diào)遞減	2 3 +c	單調(diào)遞增	45 64 +c

因此當x=1時，f（x）有極大值

5

6

+c．…（6分）
又f(

9

4

)=

45

64

+c＜

5

6

+c，f(-1)=-

23

6

+c＜

5

6

+c，
∴x∈[-1，

9

4

]時，f（x）最大值為f(1)=

5

6

+c．…（7分）
∴c2-

7

6

＞

5

6

+c．∴c＜-1或c＞2．…（8分）
（3）對任意的x₁，x₂∈[-1，

9

4

]，|f(x1)-f(x2)|≤

14

3

恒成立．
由（2）可知，當x=2時，f（x）有極小值

2

3

+c．
又f(-1)=-

23

6

+c＜

2

3

+c，f(1)=

5

6

+c＞-

23

6

+c．
∴x∈[-1，

9

4

]時，f（x）的最小值為-

23

6

+c．…（10分）
∴|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=

14

3

，故結(jié)論成立．…（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)的極值與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系以及函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法．導(dǎo)數(shù)時高考的熱點問題，每年必考要給予充分的重視．