Question

已知f（x）=2ln（1+x）+ax²-2x+3（a＞0）
（1）求y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）求y=f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出切線的斜率和切點，運用點斜式求出切線方程；
（2）求出導數(shù)，并分解因式，對a討論分a=1，a＞1，0＜a＜1，分別令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=2ln（1+x）+ax²-2x+3的導數(shù)為
f′（x）=

2

x+1

+2ax-2，
f（x）在（0，f（0））處的切線斜率為2-2=0，且f（0）=3，
則f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y=3；
（2）由于f′（x）=

2

x+1

+2ax-2=

2x(ax+a-1)

x+1

（x＞-1），
若a=1，則f′（x）＞0，則f（x）的增區(qū)間為（-1，+∞）；
若0＜a＜1，則f′（x）＞0，解得，-1＜x＜0，或x＞

1-a

a

，
f′（x）＜0，解得，0＜x＜

1-a

a

．
由于

1-a

a

＞-1，若a＞1，則f′（x）＞0，解得，x＞0或-1＜x＜

1-a

a

，
f′（x）＜0，解得，

1-a

a

＜x＜0．
綜上可得，a=1時，f（x）的增區(qū)間為（-1，+∞）；
0＜a＜1時，f（x）的增區(qū)間為（-1，0），（

1-a

a

，+∞），減區(qū)間為（0，

1-a

a

）；
a＞1時，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），（-1，

1-a

a

），減區(qū)間為（

1-a

a

，0）．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和求單調區(qū)間，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．