Question

已知拋物線y²=4x，點M（1，0）關于y軸的對稱點為N，直線l過點M交拋物線于A，B兩點，
（1）證明：直線NA，NB的斜率互為相反數；
（2）求△ANB面積的最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）如圖所示，設直線l的方程為：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯立可得根與系數的關系，利用斜率計算公式可得k_NA=

y1

x1+1

，k_NB=

y2

x2+1

，只有證明k_NA+k_NB=0即可．
（2）利用S_△ANB=

1

2

|MN||y1-y2|=|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

16m2+16

即可得出．

解答： （1）證明：如圖所示，
設直線l的方程為：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立

x=my+1 y2=4x

，化為y²-4my-4=0，△＞0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
k_NA=

y1

x1+1

，k_NB=

y2

x2+1

，
∴k_NA+k_NB=

y1

x1+1

+

y2

x2+1

=

y1(x2+1)+y2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

2my1y2+2(y1+y2)

(x1+1)(x2+1)

=

-8m+8m

(x1+1)(x2+1)

=0，
∴直線NA，NB的斜率互為相反數．
（2）解：S_△ANB=

1

2

|MN||y1-y2|=|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

16m2+16

≥4，
當且僅當m=0時取等號．
∴當AB⊥x軸時，△ANB面積取得最小值4．

點評：本題考查了直線與拋物線相交轉化為方程聯立可得根與系數的關系、斜率計算公式、三角形的面積計算公式、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．