【題目】已知函數(shù), .
(1)若曲線在處的切線的方程為,求實(shí)數(shù)的值;
(2)設(shè),若對任意兩個(gè)不等的正數(shù),都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
【答案】(1)a=﹣2;(2)[1,+∞)
【解析】試題分析:(1)由導(dǎo)數(shù)幾何意義得 (2)化簡不等式為 ,即為單調(diào)遞增函數(shù),即 恒成立,參變分離得的最大值,即得實(shí)數(shù)的取值范圍
試題解析:解:(1)y=f(x)﹣g(x)=x2﹣alnx的導(dǎo)數(shù)為x﹣,
曲線y=f(x)﹣g(x)在x=1處的切線斜率為k=1﹣a,
由切線的方程為6x﹣2y﹣5=0,可得1﹣a=3,
解得a=﹣2;
(2)h(x)=f(x)+g(x)=x2+alnx,
對任意兩個(gè)不等的正數(shù)x1,x2,都有>2恒成立,即為
>0,
令m(x)=h(x)﹣2x,可得m(x)在(0,+∞)遞增,
由m′(x)=h′(x)﹣2=x+﹣2≥0恒成立,
可得a≥x(2﹣x)的最大值,由x(2﹣x)=﹣(x﹣1)2+1可得最大值1,
則a≥1,即a的取值范圍是[1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】O為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(4,﹣3)為△OAB的直角頂點(diǎn),已知AB=2OA,且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于0
(1)求 的坐標(biāo);
(2)求圓C1:x2﹣6x+y2+2y=0關(guān)于直線OB對稱的圓C2的方程;在直線OB上是否存在點(diǎn)P,過點(diǎn)P的任意一條直線如果和圓C1圓C2都相交,則該直線被兩圓截得的線段長相等,如果存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo),如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為,設(shè)右焦點(diǎn)為,過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為,且.
(1)求弦的長;
(2)當(dāng)直線的斜率,且直線時(shí), 交橢圓于,若點(diǎn)在第一象限,求證:直線與軸圍成一個(gè)等腰三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校學(xué)生社團(tuán)為了解“大數(shù)據(jù)時(shí)代”下大學(xué)生就業(yè)情況的滿意度,對20名學(xué)生進(jìn)行問卷計(jì)分調(diào)查(滿分100分),得到如圖所示的莖葉圖:
(1)計(jì)算男生打分的平均分,觀察莖葉圖,評價(jià)男女生打分的分散程度;
(2)從打分在80分以上的同學(xué)隨機(jī)抽3人,求被抽到的女生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;
(2)討論的單調(diào)性;
(3)設(shè)過兩點(diǎn)的直線的斜率為,其中、為曲線上的任意兩點(diǎn),并且,若恒成立,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓O的方程為x2+y2=1,直線l1過點(diǎn)A(3,0),且與圓O相切.
(1)求直線l1的方程;
(2)設(shè)圓O與x軸相交于P,Q兩點(diǎn),M是圓O上異于P,Q的任意一點(diǎn),過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為l2 , 直線PM交直線l2于點(diǎn)P′,直線QM交直線l2于點(diǎn)Q′.求證:以P′Q′為直徑的圓C總經(jīng)過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將52名志愿者分成A,B兩組參加義務(wù)植樹活動(dòng),A組種植150捆白楊樹苗,B組種植200捆沙棘樹苗.假定A,B兩組同時(shí)開始種植.
(1)根據(jù)歷年統(tǒng)計(jì),每名志愿者種植一捆白楊樹苗用時(shí)小時(shí),種植一捆沙棘樹苗用時(shí)小時(shí).應(yīng)如何分配A,B兩組的人數(shù),使植樹活動(dòng)持續(xù)時(shí)間最短?
(2)在按(1)分配的人數(shù)種植1小時(shí)后發(fā)現(xiàn),每名志愿者種植一捆白楊樹苗用時(shí)仍為小時(shí),而每名志愿者種植一捆沙棘樹苗實(shí)際用時(shí)小時(shí),于是從A組抽調(diào)6名志愿者加入B組繼續(xù)種植,求植樹活動(dòng)所持續(xù)的時(shí)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直線坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)直線的普通方程和曲線的參數(shù)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)在上, 在處的切線與直線垂直,求的直角坐標(biāo).
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