Question

設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，斜率為的直線經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，且與橢圓W相交于兩點(diǎn).
（1）求的周長(zhǎng)；
（2）如果為直角三角形，求直線的斜率.

Answer 1

（1）的周長(zhǎng)為；（2）直線的斜率，或時(shí)，為直角三角形．

試題分析：（1）求的周長(zhǎng)，這是焦點(diǎn)三角問(wèn)題，解這一類(lèi)問(wèn)題，往往與定義有關(guān)，本題可由橢圓定義得，，兩式相加即得的周長(zhǎng)；（2）如果為直角三角形，求直線的斜率，由于沒(méi)教得那一個(gè)角為直角，故三種情況，，或，或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線的存在，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，設(shè)，，由根與系數(shù)關(guān)系，得到關(guān)系式，再由，即可求出斜率的值，當(dāng)（與相同）時(shí)，則點(diǎn)A在以線段為直徑的圓上，也在橢圓W上，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得直線的斜率．
（1）橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，       2分
由橢圓的定義，得，，               
所以的周長(zhǎng)為.         5分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051109624569.png" style="vertical-align:middle;" />為直角三角形，
所以，或，或，再由當(dāng)時(shí)，
設(shè)直線的方程為，，，           6分
由   得 ，             7分
所以 ，.                            8分
由，得，                                9分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051110841779.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以                    


，      10分
解得.                                                 11分
當(dāng)（與相同）時(shí)，
則點(diǎn)A在以線段為直徑的圓上，也在橢圓W上，
由 解得，或，                       13分
根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式，得，
綜上，直線的斜率，或時(shí)，為直角三角形.      14分