Question

【題目】已知函數f(x)＝－x3＋x2＋b，g(x)＝aln x.

(1)若f(x)在 上的最大值為，求實數b的值；

(2)若對任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x2＋(a＋2)x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）b＝0； （2）a≤－1.

【解析】

（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2），令f′（x）=0，得x=0或x=．由此列表討論能求出b=0．

（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．由已知得a≤（）min．由此利用構造法和導數性質能求出a≤﹣1．

(1)由f(x)＝－x3＋x2＋b，得f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.列表如下：

x	－		0
f′(x)		－	0	＋	0	－
f(x)	f	↘	極小值	↗	極大值	↘

由f＝＋b，f＝＋b，∴f>f，即函數f(x)在上的最大值為f＝＋b＝，∴b＝0.

(2)由g(x)≥－x2＋x，得a≤x2－2x.∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)n x≤1≤x，且等號不能同時成立，∴l(xiāng)n x<x，即x－ln x>0，∴a≤恒成立，即a≤.令t(x)＝，x∈[1，e]，求導得，t′(x)＝，當x∈[1，e]時，x－1≥0，ln x≤1，x＋2(1－ln x)>0，從而t′(x)≥0，∴t(x)在[1，e]上為增函數，∴t(x)min＝t(1)＝－1，∴a≤－1.