Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q＝－1.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

充要條件的證明從充分性和必要性兩個(gè)方向去證明。充分性：當(dāng)q＝－1時(shí)，a1＝p－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，當(dāng)n＝1時(shí)也成立．得出。必要性：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝p＋q；當(dāng)n≥2時(shí)， an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，a2＝p2＋pq＝p2－p，解得q＝－1。

充分性：當(dāng)q＝－1時(shí)，a1＝p－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，當(dāng)n＝1時(shí)也成立．∵p≠0且p≠1，∴＝＝p，即數(shù)列{an}為等比數(shù)列．必要性：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝p＋q；當(dāng)n≥2時(shí)， an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，∵p≠0且p≠1，∴＝＝p.∵{an}為等比數(shù)列，∴＝p，即a2＝p2＋pq＝p2－p，解得q＝－1.故數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q＝－1.