Question

4．已知實數(shù)x和復(fù)數(shù)m滿足（4+3i）x²+mx+4-3i=0，則|m|的最小值是8．

Answer 1

分析 設(shè)m=a+bi，得到（4x²+ax+4）+（3x²+bx-3）i=0，解出a，b的值，從而求出|m|的最小值即可．

解答 解：設(shè)m=a+bi，
∵（4+3i）x²+（a+bi）x+4-3i=0，
∴（4x²+ax+4）+（3x²+bx-3）i=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{4x}^{2}+ax+4=0}\\{{3x}^{2}+bx-3=0}\end{array}\right.$，
∴a=-$\frac{4{（x}^{2}+1）}{x}$，b=-$\frac{3{（x}^{2}-1）}{x}$，
∴|m|=$\sqrt{{[-\frac{4{（x}^{2}+1）}{x}]}^{2}{+[-\frac{3{（x}^{2}-1）}{x}]}^{2}}$=$\sqrt{2{5x}^{2}+\frac{25}{{x}^{2}}+14}$≥$\sqrt{2•\sqrt{2{5x}^{2}•\frac{25}{{x}^{2}}}+14}$=$\sqrt{64}$=8，
當(dāng)且僅當(dāng)x²=1時“=”成立，
故答案為：8．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)，考查解方程組問題，是一道基礎(chǔ)題．