Question

已知雙曲線的兩個焦點F₁（-

5

，0），F(xiàn)₂（

5

，0），M為雙曲線上一點，且

MF1

•

MF2

=0，

|MF1|

•

|MF2|

=2．
（Ⅰ）求此雙曲線的方程；
（Ⅱ）若過點P（0，

2

）的直線與雙曲線左支交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與y軸交于點Q（0，b），求b的取值范圍．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）設

|MF1|

=m，|MF₂|=n，則

mn=2 m2+n2=20

，2a=|m-n|=

20-4

=4，進而可知a的值，求得b，雙曲線方程可得．
（Ⅱ）設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y，根據判別式和韋達定理求得k的范圍．求得y_A+y_B的表達式，則AB的中點P的坐標可得，設出直線l₀的方程，將P點坐標代入直線l₀的方程求得b和k的關系是，進而根據k的范圍確定b的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設

|MF1|

=m，|MF₂|=n，則

mn=2 m2+n2=20

，
∴2a=|m-n|=

20-4

=4，
∴a=2，
∴b=

5-4

=1，
∴雙曲線的方程為

x2

4

-y2=1；
（Ⅱ）設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
將y=kx+

2

代入

x2

4

-y2=1，
得（1-4k²）x²-8

2

kx-12=0．
由題意知△=72k²+48（1-4k²）＞0，x_A+x_B=

8 2 k

1-4k2

＜0，x_Ax_B=

-12

1-4k2

＞0，
解得

1

2

＜k＜

10

5

．
y_A+y_B=（kx_A+

2

）+（kx_B+

2

）
=k（x_A+x_B）+2

2

=

2 2

1-4k2

，
∴AB的中點P的坐標為（

4 2 k

1-4k2

，

2

1-4k2

）．
設直線l₀的方程為：y=-

1

k

x+b，
將P點坐標代入直線l₀的方程，得b=

5 2

1-4k2

．
∵

1

2

＜k＜

10

5

，∴-

3

5

＜1-4k²＜0，
∴b＜-

25 2

3

．
∴b的取值范圍為（-∞，-

25 2

3

）．

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程以及直線與雙曲線的關系．考查了學生綜合分析問題和運算的能力．