Question

已知圓O：x²+y²=4，點(diǎn)A（

3

，0），以線段AB為直徑的圓O₁內(nèi)切于圓O，記點(diǎn)B的軌跡為Γ．
（1）求曲線Γ的方程；
（2）當(dāng)OB與圓O₁相切時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)為P，連OO₁，O₁P，利用兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)可得：|OO₁|+|O₁P|=|OP|=2，取A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連A′B，利用三角形的中位線定理可得：|A′B|+|AB|=2（|OO₁|+|O₁P|）=4．再利用橢圓的定義即可得出．
（II）OB與圓O₁相切，∴

OB

⊥

AB

．設(shè)B（x₀，y₀），可得x0(x0-

3

)+

y

2 0

=0，又

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，解得B，再利用斜率計(jì)算公式、點(diǎn)斜式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)為P，連OO₁，O₁P，
則|OO₁|+|O₁P|=|OP|=2，
取A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連A′B，
故|A′B|+|AB|=2（|OO₁|+|O₁P|）=4．
∴點(diǎn)B的軌跡是以A′，A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．
其中，a=2，c=

3

，b=1，
則曲線Γ的方程為

x2

4

+y²=1．
（Ⅱ）∵OB與圓O₁相切，∴

OB

⊥

AB

．設(shè)B（x₀，y₀），
則x0(x0-

3

)+

y

2 0

=0，又

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，解得x0=

2

3

，y0=±

2

3

．
∴kOB=±

2

2

，k_AB=-

2

或

2

，則直線BA的方程為：y=±

2

(x-

3

)．
即x+y-

6

=0或

2

x-y-

6

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)、三角形中位線定理、橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、垂直與向量的數(shù)量積關(guān)系、點(diǎn)斜式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．