Question

1．在平面直角坐標系中，定點F₁（1，0），F(xiàn)₂（-1，0），動點P與兩定點F₁，F(xiàn)₂距離的比為一個正數(shù)m．
（1）求點P的軌跡方程C，并說明軌跡是什么圖形；
（2）若m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過點A（1，2）作傾斜角互補的兩條直線，分別交曲線C于P，Q兩點，求直線PQ的斜率．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），由題意得$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=m，（m＞0），由此能求出結(jié)果．
（2）當m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，曲線C：（x-3）²+y²=8，設(shè)直線AP：y-2=k（x-1），P（x₁，y₁），則直線AQ：y-2=-k（x-1），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2-k}\\{（x-3）^{2}+{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+（-2k²+4k-6）x+k²-4k+5=0，由此利用韋過定理、直線方程能求出直線PQ的斜率．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），由題意得$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=m，（m＞0），
即|PF₁|=m|PF₂|，∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=m$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，
∴（m²-1）（x²+y²）+2（m²+1）x+m²-1=0，
當m=1時，點P的軌跡方程為x=0，表示y軸．
當m≠1時，點M的軌跡方程為${x}^{2}+{y}^{2}+2（\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}-1}）x+1=0$，
即（x+$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}-1}$）²+y²=$\frac{4{m}^{2}}{（{m}^{2}-1）^{2}}$，
表示圓心為（-$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}-1}$，0），半徑為$\frac{2m}{|{m}^{2}-1|}$的圓．
（2）當m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，由（1）得曲線C：（x-3）²+y²=8，
設(shè)直線AP：y-2=k（x-1），P（x₁，y₁），則直線AQ：y-2=-k（x-1），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2-k}\\{（x-3）^{2}+{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+（-2k²+4k-6）x+k²-4k+5=0，
∴x₁•1=$\frac{{k}^{2}-4k+5}{1+{k}^{2}}$，即${x}_{1}=\frac{{k}^{2}-4k+5}{1+{k}^{2}}$，
此時y₁=kx₁+2-k，
同理，${x}_{2}=\frac{{k}^{2}+4k+5}{1+{k}^{2}}$，y₂=-kx₂+2+k，
∴k_PQ=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{（-k{x}_{2}+2+k）-（k{x}_{1}+2-k）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2k}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
將x₁，x₂代入得k_PQ=$\frac{-k[（{x}_{1}+{x}_{2}）-2]}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k[（\frac{{k}^{2}-4k+5}{1+{k}^{2}}+\frac{{k}^{2}+4k+5}{1+{k}^{2}}）-2]}{\frac{{k}^{2}+4k+5}{1+{k}^{2}}-\frac{{k}^{2}-4k+5}{1+{k}^{2}}}$=-1，
∴直線PQ的斜率為-1．

點評 本題考查點的軌跡的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式、圓、韋達定理等知識點的合理運用．