Question

6．若關于x的不等式acos2x+cosx≥-1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$]．

Answer 1

分析 利用換元法，將不等式恒成立問題轉化為一元二次不等式恒成立，討論判別式△與對稱性的關系進行求解即可．

解答 解：由acos2x+cosx≥-1得a（2cos²x-1）+cosx+1≥0，
令cosx=t，t∈[-1，1]，
則原命題可轉換為（2t²-1）a+t+1≥0恒成立
則2at²+t+1-a≥0恒成立，令f（t）=2at²+t+1-a
首先f（-1）=2a-1+1-a=a≥0，f（1）=2a+2-a=a+2≥0，得a≥-2．
此時a≥0，
若△≤0，得1-4×2a×（1-a）≤0，即8a²-8a+1≤0解得$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$≤a≤$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
∵a≥0，$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$≤a≤$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，∴$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$≤a≤$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$
若判別式△＞0，即a＞$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
此時函數(shù)的最小值為$\frac{-4×2{a}^{2}-1}{4×2a}$=$\frac{-1-8{a}^{2}}{8a}$＞0恒成立，
此時不等式無解，
綜上a的范圍是[$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$]，
故答案為：[$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$]

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用換元法轉化為一元二次不等式，利用一元二次不等式和一元二次函數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．