Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知E：（x+

3

）²+y²=16，點(diǎn)F（

3

，0），點(diǎn)P是圓E上任意一點(diǎn)，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于點(diǎn)Q．記動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為C，另有動(dòng)點(diǎn)M（x，y）（x≥0）到點(diǎn)N（2，0）的距離比它到直線x=-1的距離多1，記點(diǎn)M的軌跡為C₁，軌跡C₂的方程為x²=y
（1）求軌跡C和C₁的方程
（2）已知點(diǎn)T（-1，0），設(shè)軌跡C₁與C₂異于原點(diǎn)O的交點(diǎn)為R，若懂直線l與直線OR垂直，且與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A、B，求

TA

•

TB

的最小值
（3）在滿足（2）中的條件下，當(dāng)

TA

•

TB

取得最小值時(shí)，求△TAB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)題意可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2

3

，由橢圓定義可得點(diǎn)Q的軌跡C的方程為

x2

4

+y2=1．
直接由拋物線定義可得動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C₁是以N（2，0）為焦點(diǎn)，以直線x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，則拋物線軌跡方程可求；
（2）聯(lián)立兩拋物線方程求得R（2，4），寫出動(dòng)直線l的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后由判別式大于0求得m的范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，把

TA

•

TB

轉(zhuǎn)化為含m的代數(shù)式由二次函數(shù)求最值；
（3）把m=-

2

5

代入x1+x2=2m，x1x2=2m2-2，得x1+x2=-

4

5

，x1x2=-

42

25

．由弦長公式求得|AB|，再由點(diǎn)到直線的距離公式求得T到直線l的距離，代入三角形的面積公式得答案．

解答： 解：（1）如圖，
連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2

3

，
故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，
設(shè)其方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），可知a=2，c=

3

，則b=1，
∴點(diǎn)Q的軌跡C的方程為

x2

4

+y2=1．
∵動(dòng)點(diǎn)M（x，y）（x≥0）到點(diǎn)N（2，0）的距離比它到直線x=-1的距離多1，
∴動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C₁是以N（2，0）為焦點(diǎn)，以直線x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，
∴軌跡方程為y²=8x；
（2）如圖，
聯(lián)立

y2=8x x2=y

，解得R（2，4），
∴k_OR=2，則可設(shè)動(dòng)直線l的方程為y=-

1

2

x+m，
聯(lián)立

y=- 1 2 x+m x2 4 +y2=1

，得x²-2mx+2m²-2=0．
由△=（-2m）²-4（2m²-2）=8-4m²＞0，得-

2

＜m＜

2

．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=2m，x1x2=2m2-2．

TA

=(x1+1，y1)，

TB

=(x2+1，y2)，
∴

TA

•

TB

=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=x1x2+(x1+x2)+1+(-

1

2

x1+m)(-

1

2

x2+m)
=

5

4

x1x2+(1-

1

2

m)(x1+x2)+1+m2=

5

4

(2m2-2)+(1-

1

2

m)•2m+1+m2
=

1

2

(5m2+4m-3)（-

2

＜m＜

2

），
∴當(dāng)m=-

2

5

時(shí)，

TA

•

TB

有最小值為-

19

10

；
（3）把m=-

2

5

代入x1+x2=2m，x1x2=2m2-2．得x1+x2=-

4

5

，x1x2=-

42

25

．
∴|AB|=

1+(- 1 2 )2

(- 4 5 )2-4(- 42 25 )

=

230

5

．
又T（-1，0）到直線5x+10y+4=0的距離為d=

|-5+4|

125

=

5

25

，
∴△TAB的面積S=

1

2

×

230

5

×

5

25

=

46

50

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了平面向量數(shù)量積在解題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是壓軸題．