Question

17．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{4}$）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知A、B分別為橢圓E的右頂點、上頂點，過原點O做斜率為k（k＞0）的直線交橢圓于C、D兩點，求四邊形ACBD面積S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意列出關于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）由題意可設CD：y=kx，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），到AB的距離分別為d₁，d₂，將y=kx代入橢圓方程可得x₁，x₂，進一步求出d₁，d₂，則四邊形ACBD的面積S取得最大值可求．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{4{a}^{2}}+\frac{1}{16^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=1．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由題意可設CD：y=kx，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），到AB的距離分別為d₁，d₂，
將y=kx代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，得x²=$\frac{4}{1+4{k}^{2}}$，則x₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，x₂=-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$．
由A（2，0），B（0，1）得|AB|=$\sqrt{5}$，且AB：x+2y-2=0，
d₁=$\frac{{x}_{1}+2{y}_{1}-2}{\sqrt{5}}$，d₂=-$\frac{{x}_{2}-2{y}_{2}-2}{\sqrt{5}}$，
S=$\frac{1}{2}$|AB|（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$[（x₁-x₂）+2（y₁-y₂）]
=$\frac{1}{2}$（1+2k）（x₁-x₂）=$\frac{2+4k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
S²=4（1+$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$），
∵1+4k²≥4k，當且僅當4k²=1時取等號，
∴當k=$\frac{1}{2}$時，四邊形ACBD的面積S取得最大值2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查了點到直線的距離公式的應用，考查計算能力，是中檔題．