Question

（理科）已知函數(shù)f(x)=

-x3+ax2+bx，(x＜1) clnx，(x≥1)

的圖象在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線方程為16x+y+20=0
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值
（2）曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)M、N，使得△MON是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊MN的中點(diǎn)在y軸上，求實(shí)數(shù)c的取值范圍
（3）當(dāng)c=e時(shí)，討論關(guān)于x的方程f（x）=kx（k∈R）的實(shí)根個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)圖象在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線方程為16x+y+20=0，建立方程組，即可求得實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，分類討論，利用MN的中點(diǎn)在y軸上，且

OM

•

ON

=0，即可求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（3）就x≠0時(shí)進(jìn)行研究，方程等價(jià)于k=

-x2+x，(x＜1且x≠0) elnx x ，(x≥1)

，利用函數(shù)的圖象，分類討論，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)x＜1時(shí)，f'（x）=-3x²+2ax+b．
∵函數(shù)圖象在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線方程為16x+y+20=0．
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，12），則有

f(-2)=8+4a-2b=12 f′(-2)=-12-4a+b=-16

解得a=1，b=0…（3分）
（2）由（1）得f(x)=

-x3+x2，(x＜1) clnx，(x≥1)

，根據(jù)條件M，N的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè)M（-t，t³+t²），N（t，f（t）），（t＞0）．
①若t＜1，則f（t）=-t³+t²，由∠MON是直角得，

OM

•

ON

=0，即-t²+（t³+t²）（-t³+t²）=0，t⁴-t²+1=0．（無(wú)解）
②若t≥1，則f（t）=clnt．
由于MN的中點(diǎn)在y軸上，且

OM

•

ON

=0，點(diǎn)N不能在x軸上，即t≠1．
由

OM

•

ON

=0，-t²+（t³+t²）•clnt=0，分離參數(shù)得到g(t)=

1

(t+1)lnt

∵函數(shù)g(t)=

1

(t+1)lnt

（t＞1）的值域是（0，+∞）
∴c的取值范圍是（0，+∞）…（7分）
（3）方程f（x）=kx，即kx=

-x3+x2，(x＜1) elnx，(x≥1)

，可知0一定是方程的根，
所以僅就x≠0時(shí)進(jìn)行研究，方程等價(jià)于k=

-x2+x，(x＜1且x≠0) elnx x ，(x≥1)

．
令k(x)=

-x2+x，(x＜1且x≠0) elnx x ，(x≥1)

…（8分）
下面研究函數(shù)k（x）的性態(tài)，進(jìn)而畫出其大致圖象．
對(duì)于x＜1且x≠0部分，函數(shù)k（x）=-x²+x的圖象是開(kāi)口向下的拋物線的一部分，當(dāng)x=

1

2

時(shí)取得最大值

1

4

，其值域是(-∞，0)∪(0，

1

4

]；
對(duì)于x≥1部分，函數(shù)k(x)=

elnx

x

，令k′(x)=

e-elnx

x2

=0，得x=e，
所以函數(shù)k（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，所以k（x）在x=e時(shí)取得最大值1，其值域是[0，1]，k（1）=0，并且當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，其圖象在x軸上方向右無(wú)限接近x軸但永遠(yuǎn)也達(dá)不到x軸…（10分）
因此可畫出函數(shù)k（x）的圖象的示意圖如下：

可得：
①當(dāng)k＞1時(shí)，方程f（x）=kx只有唯一實(shí)根0；
②當(dāng)k=1或者k≤0時(shí)，方程f（x）=kx有兩個(gè)實(shí)根；
③當(dāng)

1

4

＜k＜1時(shí)，方程f（x）=kx有三個(gè)實(shí)根；
④當(dāng)k=

1

4

時(shí)，方程f（x）=kx有四個(gè)實(shí)根；
⑤當(dāng)0＜k＜

1

4

時(shí)，方程f（x）=kx有五個(gè)實(shí)根；…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．