Question

已知函數(shù)f（x）=

a•2x-1-a

2x-1

為奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先研究函數(shù)的定義域，然后根據(jù)奇函數(shù)的定義即f（-x）=-f（x）恒成立求出a的值；
（Ⅱ）需用單調(diào)性的定義證明該函數(shù)為增函數(shù)．

解答： 解：f(x)=

a•2x-1-a

2x-1

=a-

1

2x-1

．
（Ⅰ）由奇函數(shù)定義，得f（-x）+f（x）=0恒成立，
即a-

1

2-x-1

+a-

1

2x-1

=0，解得a=-

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f(x)=-

1

2

-

1

2x-1

，
設(shè)0＜x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

1

2x2-1

-

1

2x1-1

=

2x1-2x2

(2x1-1)(2x2-1)

，
由0＜x₁＜x₂，所以1＜2x1＜2x2，
所以2x1-2x2＜0，2x1-1＞0，2x2-1＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)奇偶性的定義及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的定義及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．