Question

11．已知1gx+1g（2y）=1g（x+4y+a）
（1）當a=6時求xy的最小值；
（2）當a=0時，求x+y+$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{2y}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用對數運算法則推出x，y的方程，利用基本不等式求出最小值．
（2）利用對數的運算法則推出關系式，然后化簡表達式，利用基本不等式求出函數的最值即可．

解答 解：（1）1gx+1g（2y）=1g（x+4y+a），可得x＞0，y＞0．
a=6，1gx+1g（2y）=1g（x+4y+a）可得2xy=x+4y+6≥2$\sqrt{4xy}$+6．當且僅當x=4y時取等號，
即xy≥2$\sqrt{4xy}$+6，解得$\sqrt{xy}≥3$，xy≥9，
xy的最小值為：9．
（2）當a=0時，1gx+1g（2y）=1g（x+4y），
可得2xy=x+4y，y=$\frac{x}{2x-4}$，y＞0．x＞2，
x+y+$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{2y}$=x+$\frac{x}{2x-4}$+$\frac{2}{x}$+$\frac{x-2}{x}$=x+$\frac{x}{2x-4}$+1=x+$\frac{x-2+2}{2x-4}$+1=x+$\frac{1}{x-2}$+$\frac{3}{2}$=x-2+$\frac{1}{x-2}$+$\frac{5}{2}$≥2$\sqrt{（x-2）\frac{1}{x-2}}+\frac{5}{2}$=2+$\frac{5}{2}$=$\frac{7}{2}$，當且僅當x=3時取等號．

點評 本題考查基本不等式的應用，考查轉化思想以及分析問題解決問題的能力．