【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形，， ，是的中點(diǎn)，.

（Ⅰ）證明：⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線平面. 若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)證明；（Ⅱ）；（Ⅲ）見(jiàn)解析

【解析】

（I）依題意易得兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．通過(guò),證得平面.（II）通過(guò)計(jì)算平面和平面的法向量，由此計(jì)算出面面角的余弦值，進(jìn)而求得二面角的大小.（III）設(shè)出的坐標(biāo)，利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，求出關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)，由此判斷出點(diǎn)的位置.

（Ⅰ）因?yàn)?/span> 平面.

所以，，又.

如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．

由題意得

所以,,.

所以,,

所以,,

所以平面.

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，

因?yàn)?/span>.

所以，即，

令，則.

于是.

因?yàn)?/span>⊥平面，所以為平面的法向量，

又.

所以.

因?yàn)樗蠖娼菫殁g角，所以二面角大小為.

（Ⅲ）解：設(shè)，

，

，.

設(shè)平面的法向量，

則，即 ，

令，，. 于是，

如果直線平面，

那么，解得 .

所以，存在點(diǎn)為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，使得直線平面.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）利用組中值（數(shù)據(jù)分組后，一個(gè)小組的組中值是指這個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)的數(shù)的平均數(shù)），估計(jì)100名女性使用者評(píng)分的平均值；

（2）根據(jù)評(píng)分的不同，運(yùn)用分層抽樣從這200名男性中抽取20名，在這20名中，從評(píng)分不低于80分的人中任意抽取3名，求這3名男性中恰有一名評(píng)分在區(qū)間的概率.

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（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

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（1）求證：∥平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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【題目】某省的一個(gè)氣象站觀測(cè)點(diǎn)在連續(xù)4天里記錄的AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見(jiàn)度（單位：cm）的情況如表1：

900

700

300

100

0.5

3.5

6.5

9.5

該省某市2017年11月份AQI指數(shù)頻數(shù)分布如表2：

頻數(shù)（天）

3

6

12

6

3

<>（1）設(shè)，若與之間是線性關(guān)系，試根據(jù)表1的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程；

（2）小李在該市開(kāi)了一家洗車(chē)店，洗車(chē)店每天的平均收入與AQI指數(shù)存在相關(guān)關(guān)系如表3：

日均收入（元）

-2000

-1000

2000

6000

8000

根據(jù)表3估計(jì)小李的洗車(chē)店2017年11月份每天的平均收入.

附參考公式：，其中，.

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【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，交BD于點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是的中點(diǎn).

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A. 10步，50步 B. 20步，60步 C. 30步，70步 D. 40步，80步

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