Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且${S_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且a₁=b₁-2，a₂（b₂-b₁）=a₁．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）求出a₁，利用前n項(xiàng)和與前n-1項(xiàng)和的關(guān)系，推出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．然后求解{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）推出${c_n}=\frac{2n+1}{{\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}=（{2n+1}）•{2^{n-1}}$．利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（{2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）-（{2-\frac{1}{{{2^{n-2}}}}}）=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，
此式對(duì)n=1也成立．
∴${a_n}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}（{n∈{N^*}}）$，
從而b₁=a₁+2=3，${b_2}-{b_1}=\frac{a_1}{a_2}=2$，
又∵{b_n}為等差數(shù)列，∴公差為d=2，
∴b_n=3+（n-1）•2=2n+1．
（2）由（1）可知${c_n}=\frac{2n+1}{{\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}=（{2n+1}）•{2^{n-1}}$．
所以${T_n}=3×1+5×2+7×{2^2}+…+（{2n+1}）•{2^{n-1}}$．①，
①×2得$2{T_n}=3×2+5×{2^2}+…+（{2n-1}）•{2^{n-1}}+（{2n+1}）•{2^n}$．②，
①-②得$-{T_n}=3+2（{{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}}）-（{2n+1}）•{2^n}$，
∴$-{T_n}=3+2×\frac{{2•（{1-{2^{n-1}}}）}}{1-2}-（{2n+1}）×{2^n}$，
∴${T_n}=1+（{2n-1}）•{2^n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，考查計(jì)算能力．